chaos,keteraturan dalam keacakan (2)

Masih seputar teori chaos. Ada cerita menarik ketika Edward Lorentz menemukan apa yang sekarang disebut sebagai atraktor asing (strange attractor) itu. Satu ketika, dalam usahanya untuk melakukan peramalan cuaca, ia menyelesaikan 12 persamaan diferensial non-linear dengan komputer. Hasil perhitungannya itu kemudian digambarkan dalam bentuk kurva yang dicetak diatas sehelai kertas. Pada awalnya dia mencetak kurvanya dalam format enam angka di belakang koma (…,506127). Kemudian, untuk menghemat waktu dan kertas, ia memasukkan hanya tiga angka di belakang koma (…,506) dan cetakan berikutnya diulangi pada kertas sama yang sudah berisi hasil cetakan tadi.

Sejam kemudian, ia dikagetkan dengan hasil yang sangat berbeda dengan yang diharapkan. Pada awalnya kedua kurva tersebut memang berimpitan, tetapi sedikit demi sedikit bergeser sampai membentuk corak yang sama sekali berbeda. Inilah yang kemudian dikenal sebagai “efek kupu-kupu” (butterfly effect). Efek ini mengibaratkan kepakan sayap kupu-kupu di Brasil (setara dengan pengabaian angka sekecil 0.000127) akhirnya mampu memicu terjadinya tornado di Texas beberapa bulan kemudian.

Fenomena inilah yang kemudian melahirkan teori chaos. Dari tulisan sebelumnya kita sudah tahu kalau chaos adalah sistem yang memiliki ketergantungan yang sangat peka terhadap kondisi awal. Hanya sedikit perubahan pada kondisi awal, dapat mengubah secara drastis kelakuan sistem pada jangka panjang. Jika suatu sistem dimulai dengan kondisi awal 2 maka hasil akhir dari sistem yang sama akan jauh berbeda jika dimulai dengan 2,000001 di mana 0,000001 sangat kecil sekali dan wajar untuk diabaikan. Atau dengan kata lain: kesalahan yang sangat kecil akan menyebabkan bencana dikemudian hari.

Pada permulaan abad ke-20, yaitu pada masa hidup E. Lorentz, para ilmuwan masih berkeyakinan bahwa walaupun sebuah sistem dapat “berperilaku” sangat liar, namun suatu saat akhirnya sistem akan kembali pada kondisi kesetimbangan. Ini sesungguhnya sangat bertentangan dengan prinsip chaos. Selain Lorentz, sebenarnya masih ada nama-nama lain yang ikut berperan dalam perumusan teori chaos –Å“ diantaranya adalah B van der Pol, Duffing, dan M He”„¢non. Tidak tertutup pula kemungkinan ada sederet nama ilmuwan lain yang telah melihat fenomena chaos di sistem yang mereka miliki, namun mereka tidak berani mempublikasikannya. Edward Lorenz sendiri pernah mendapat reaksi negatif dari rekannya ketika ia dengan penuh semangat menjelaskan fenomena itu, “Ed, alam di mana kita hidup tidak berperilaku seperti yang kau deskripsikan!” Kata seorang profesor Fisika kepada E Lorenz.

Di lain pihak, ada juga seorang matematikawan bernama Stephen Smale yang sebenarnya kontra terhadap teori chaos. Tetapi ketika ia membaca paper E Lorenz, ia mulai berpikir tentang kemungkinan selain teorinya sendiri. Akhirnya, ia menciptakan Pemetaan Sepatu Kuda (Horse-shoe map) yang sampai saat ini merupakan bentuk paling sederhana dari sistem yang memuat skenario menuju chaos.

Pada dasarnya Teori Chaos adalah teori yang berkenaan dengan sistem yang tidak teratur. Sistem semacam ini bisa kita temui pada objek-objek seperti awan, pohon, garis pantai, ombak dsb. Sekilas, sistem-sistem tersebut nampak acak, tidak teratur dan anarkis. Namun bila dilakukan pembagian (fraksi) atas bagian-bagian yang kecil, maka sistem yang besar yang tidak teratur ini didapati sebagai pengulangan dari bagian-bagian yang teratur. Secara statistik bisa dinyatakan bahwa Chaos adalah kelakuan stokastik dari sistem yang deterministik. Sistem yang deterministik (sederhana, satu solusi) bila ditumpuk-tumpuk akan menjadi sistem yang stokastik (rumit, solusi banyak).

Adalah Mandelbrot dan Helge von Koch, seorang ahli komputer dan matematika yang memperagakan hal ini sehingga muncullah cabang ilmu baru yang disebut fraktal (fractal). Fraktal bukanlah chaos. Fraktal adalah suatu struktur yang memiliki substruktur yang masing-masing substruktur memiliki substruktur lagi dan seterusnya. Setiap substruktur adalah replika kecil dari struktur besar yang memuatnya.

Contoh yang paling sederhana dari fraktal adalah jika kita memegang cermin di hadapan sebuah cermin. Di dalam cermin yang dipegang ada bayangan orang yang memegang cermin. Di dalam cermin yang ada di bayangan, ada bayangan si pemegang cermin itu lagi, dan seterusnya.

Sebuah chaotic attractor terkadang juga memiliki struktur fraktal seperti itu. Keunikan dari benda-benda yang memiliki struktur fraktal adalah dimensinya. Secara umum, solusi dari sebuah sistem dinamis adalah sebuah obyek matematis yang berdimensi satu (mempunyai ukuran yang sama dengan garis). Jika solusi itu merupakan solusi yang chaotik, ia mempunyai dimensi fraktal berupa pecahan. Misalnya, berdimensi 2,3 yang berarti benda itu lebih tebal daripada bidang (yang berdimensi 2), tetapi masih lebih kecil daripada ruang (yang berdimensi 3).

Contoh lainnya dari fraktal dapat kita lihat pada tumpukan bangun segitiga sama sisi. Segitiga sama sisi adalah sistem deterministik (sederhana). Bila banyak segitiga sama sisi ditumpuk-tumpuk dan dilakukan perbesaran pada salah satu pinggir tumpukannya akan menghasilkan suatu permukaan pinggiran yang sangat ruwet (stokastik). Keadaan akhir (yang dilihat dengan mata) tumpukan akhir pada salah satu pinggir adalah sistem chaos sedangkan segitiga-segitiga pembentuknya adalah unsur pembentuk fraktal.

Kebanyakan dalam realitas kehidupan (tentu juga realitas ekonomi), masalah yang kita hadapi adalah seperti tumpukan segitiga yang hanya kelihatan sebagian dari pinggirnya itu. Akan menyesatkan dan sangat ceroboh bila analisisnya mengambil pendekatan garis mulus yang menghubungkan permukaan tersebut. Chaos dan fraktal menawarkan suatu solusi untuk mengekstraksi sistem chaos ini agar ditemukan unsur pembentuknya, yaitu segitiga-segitiga sama sisi tersebut. Dalam situasi ekonomi yang chaotik saat ini (nilai Rupiah melemah, harga minyak mentah melambung), teori chaos tentu sangat relevan sebagai kerangka analisis untuk menjelaskan apa sebenarnya yang tengah terjadi.

http://blog.dhani.org/2005/07/chaos-keteraturan-dalam-keacakan-2/